본 연구에서는 수질측정 지점에 대해 월별 수질에 대한 장기적 추세를 확인하기 위해 분석을 수행하였다. 계절추세분석(Seasonal trend test)은 각 월별에 대한 Mann-Kendall 검정을 시행한 후 각 월별 결과들의 가중 합을 계산하여 경향성을 분석하는 비모수 통계 방법이다. 따라서 계절추세분석은 관심기간 동안 수질오염에 대한 단조 증가/감소 형태로 나타낼 수 있어 해석이 용이하다.
가설 설정
각 월별 수질 데이터에 대해 Mann-Kendall 검정통계량을 이용하여 검정을 실행하기 때문에 다음과 같이 가설을 설정한다.
$H_0$ : 시간 경과에 따라 추세가 존재하지 않는다. vs $H_1$ : 시간 경과에 따라 추세가 존재한다.
Mann-Kendall 추정치 $S_t$ 계산
Mann-Kendall 추정치 $S_t$는 i월에 해당하는 수질 자료 간의 차이의 합이며 $X_{i1}, X_{i2}, \cdots , X_{in}$으로 표현하면 다음과 같은 식으로 정의된다.
이때, $S_t$는 월별 통계량이며, $n$은 자료의 연도 수, $i$는 해당 월, $X$는 해당 연도의 월 수질 자료를 나타낸다. $sgn(X_{ij} - X_{ik})$는 식 (2)와 같이 연도별 해당 월 수질 자료 간의 차이가 각각 양, 0, 음일 때, +1, 0, -1로 표현하여 이들의 합인 $S_i$를 산정한다. 이와 같이 계산된 총 12개의 월별 $S_i$ 통계량은 모두 합산하여 전체 추정 통계치인 $S$를 도출한다.
$$ sgn(X_{ij} - X_{ik}) = 1 \;\;\;\; if \;\;X_{ij} - X_{ik} > 0 \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\; 0 \;\; if X_{ij} - X_{ik} = 0 \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = -1\;\; if \;\;X_{ij} - X_{ik} $$
검정 통계량 계산
$S$에 대한 분산 $VAR(S)$를 산정하고, 식 (3)에 의해 표준 정규변량 $Z$를 산정하여 이를 유의수준의 표준 통계치 (P)와 비교하여 경향성을 파악한다.
$$ Z = \frac{S-1}{|VAR(S)|^{1/2}} \;\;if\;\;S>0 \\ = 0,\;\;if\;\;S=0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \\ \;\;\;=\frac{S+1}{|VAR(S)^{1/2}}\;\; if \;\; S<0 $$
$VAR(S)$의 계산 방법은 식 (4)와 같다.
$$ VAR(S) = \frac{n(n-1)(2n+5) - \sum_{t=1}^q t_j(y_j-1)(2t_j+5)}{18} $$
여기서, $n$은 수질 데이터의 총 개수, $t_j$는 같은 월의 개수(빈도수), $q$는 데이터에서 같은 월로 묶여있는 전체 개수를 의미한다.